Reconstructing 3D compact sets

Reconstructing a 3D shape from sample points is a central problem faced in medical applications, reverse engineering, natural sciences, cultural heritage projects, etc. While these applications motivated intense research on 3D surface reconstruction, the problem of reconstructing more general shapes hardly received any attention. This paper develops a reconstruction algorithm changing the 3D reconstruction paradigm as follows. First, the algorithm handles general shapes i.e. compact sets as opposed to surfaces. Under mild assumptions on the sampling of the compact set, the reconstruction is proved to be correct in terms of homotopy type. Second, the algorithm does not output a single reconstruction but a nested sequence of plausible reconstructions. Third, the algorithm accommodates topological persistence so as to select the most stable features only. Finally, in case of reconstruction failure, it allows the identification of under-sampled areas, so as to possibly fix the sampling. These key features are illustrated by experimental results on challenging datasets, and should prove instrumental in enhancing the processing of such datasets in the aforementioned applications. Key-words: 3D reconstruction, surface reconstruction, distance function, Voronoi diagram, Morse-Smale complex, flow complex, topological persistence. ∗ INRIA Sophia-Antipolis-Méditerranée, Algorithms-Biology-Structure; [email protected] † INRIA Sophia-Antipolis-Méditerranée, Geometrica; [email protected] in ria -0 03 70 20 8, v er si on 1 23 M ar 2 00 9 Reconstruction d’ensembles compacts 3D Résumé : Reconstruire un modèle à partir d’échantillons est un problème central se posant en médecine numérique, en ingénierie inverse, en sciences naturelles, etc. Ces applications ont motivé une recherche substantielle pour la reconstruction de surfaces, la question de la reconstruction de modèles plus généraux n’ayant pas été examinée. Ce travail présente an algorithme visant à changer le paradigme de reconstruction en 3D comme suit. Premièrement, l’algorithme reconstruit des formes générales–des ensembles compacts et non plus des surfaces. Sous des hypothèses appropriées, nous montrons que la reconstruction a le type d’homotopie de l’objet de départ. Deuxièmement, l’algorithme ne génère pas une seule reconstruction, mais un ensemble de reconstructions plausibles. Troisièmement, l’algorithme peut être couplé à la persistance topologique, afin de sélectionner les traits les plus stables du modèle reconstruit. Enfin, en cas d’échec de la reconstruction, la méthode permet une identification aisée des régions sous-echantillonnées, afin éventuellement de les enrichir. Ces points clefs sont illustrés sur des modèles difficiles, et devraient permettre de mieux tirer parti de leurs caractéristiques dans les application sus-citées. Mots-clés : Reconstruction de formes en 3D, reconstruction de surfaces, fonction distance, digramme de Voronoi, diagramme de Morse-Smale, flow complex., persistence topologique. in ria -0 03 70 20 8, v er si on 1 23 M ar 2 00 9 Reconstructing 3D compact sets 3